模拟电路 - 汇总

2025年10月11日笔记学习 / 数字电路 zh-CN

Gemini 真好用……

第一部分：电路基本概念与定律

1.1 电路模型 (Circuit Models)

电路理论研究的是电路模型，它是实际电路的近似表示，由一些理想元件构成。

集总参数电路 (Lumped-parameter Circuit): 电路元件的尺寸远小于其工作信号的波长。这是我们分析的电路基础，满足以下集总三原则：
1. 元件外部不应存在电场与磁场。
2. 任何时刻，流入一个二端元件一个端钮的电流等于从另一端钮流出的电流。
3. 端钮间的电压是唯一的。
理想二端元件 (Ideal Two-terminal Elements):

元件	符号	V-I 关系 (元件定律)	特性
电阻 (Resistor)	R	$v(t) = i(t) R$	消耗电能
电容 (Capacitor)	C	$i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}$	储存电场能量
电感 (Inductor)	L	$v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$	储存磁场能量
理想电压源	V	电压恒定，与电流无关	提供能量或信号
理想电流源	I	电流恒定，与电压无关	提供能量或信号

1.2 参考方向和功率计算

参考方向 (Reference Direction): 由于复杂电路中电压和电流的实际方向难以预判，我们预先假定一个方向作为参考。
- 电流参考方向：用箭头表示。
- 电压参考方向：用 + 和 - 表示电压降的方向。

关联参考方向 (Associated Reference Convention): 电流的参考方向从电压的参考正极性端流入，从负极性端流出。这是计算功率的标准约定。

graph LR
    subgraph 元件
        A -- i --> B
    end
    subgraph 电压参考
        direction LR
        labelA["+"] -- v --- labelB["-"]
    end
    A --- labelA
    B --- labelB

功率计算 (Power Calculation):
- 瞬时功率公式:
  $p(t) = v(t) \cdot i(t)$
- 在关联参考方向下：
  - 若 $p > 0$ ，表示元件吸收功率 (实际吸收)。
  - 若 $p < 0$ ，表示元件发出功率 (实际发出)。
- 注意: 功率的消耗或发出与参考方向的选择无关，只与电压、电流的实际方向有关。

1.3 基尔霍夫定律 (Kirchhoff's Laws)

这是集总电路分析的基础。

基本术语:
- 节点 (Node): 两个或多个元件的连接点。
- 支路 (Branch): 相邻两个节点之间的连接。
- 回路 (Loop): 由若干支路构成的闭合路径。
基尔霍夫电流定律 (KCL): 在任意时刻，流入任一节点（或任一封闭面）的电流代数和恒为零。
$\sum_{k=1}^{n} i_k = 0$

核心思想: 电荷不会在节点处凭空产生或消失。
基尔霍夫电压定律 (KVL): 在任意时刻，沿任一回路绕行一周，所有支路电压的代数和恒为零。
$\sum_{k=1}^{n} v_k = 0$

核心思想: 从某点出发绕回路一圈回到该点，电位不变。

1.4 受控源与等效变换

受控源 (Controlled Sources): 也叫非独立源，其电压或电流值由电路中另一部分的电压或电流（控制量）决定。
1. VCVS: 电压控制的电压源
2. VCCS: 电压控制的电流源
3. CCVS: 电流控制的电压源
4. CCCS: 电流控制的电流源
电源的等效变换 (Source Transformation):
一个理想电压源 $V_s$ 与电阻 $R_s$ 串联的实际电压源，可以等效变换为一个理想电流源 $I_s$ 与电阻 $R_s$ 并联的实际电流源。
- 关系: $I_s = \frac{V_s}{R_s}$
- 变换是双向的，且只对外部电路等效，对电源内部不等效。
```
graph LR
    A[实际电压源 <br> V_s 串联 R_s] <--> B[实际电流源 <br> I_s 并联 R_s]
```

第二部分：电路基本分析方法

2.1 节点分析法 (Nodal Analysis)

节点分析法是一种以节点电压为求解对象，基于 KCL 的系统性电路分析方法。

步骤:
1. 选择参考节点: 通常选择连接支路最多的节点作为参考点，其电位定义为 0V。
2. 标注节点电压: 设其他 n-1 个独立节点的电压为未知量（ $e_1, e_2, ...$ ）。
3. 列写 KCL 方程: 对 n-1 个非参考节点，根据 KCL 列写电流方程。支路电流用节点电压和元件参数表示（例如： $i = \frac{e_a - e_b}{R}$ ）。
4. 求解方程: 求解这 n-1 个线性方程组，得到所有节点电压。
5. 计算支路量: 根据节点电压计算所需的支路电流或电压。
超节点 (Supernode): 当一个电压源（可以是独立源或受控源）位于两个非参考节点之间时，这两个节点和它们之间的电压源构成一个超节点。
- 处理方法:
  1. 将超节点视为一个广义节点，对其整体列写 KCL 方程。
  2. 为这个电压源本身补充一个电压约束方程（例如： $e_a - e_b = V_s$ ）。

2.2 叠加定理 (Superposition Theorem)

适用条件: 线性电路 (电路中所有元件均为线性元件)。
定理内容: 在一个线性电路中，多个独立电源共同作用时，电路中任一支路的电压或电流，等于各个独立电源单独作用时在该支路产生的电压或电流的代数和。
分析步骤:
1. 一次只保留一个独立电源，将其余所有独立电源置零。
  - 电压源置零: 用短路 (short circuit) 替代。
  - 电流源置零: 用开路 (open circuit) 替代。
2. 计算该电源单独作用时，所求支路的响应（电压或电流）。
3. 对每一个独立电源重复以上步骤。
4. 将所有独立电源单独作用产生的响应进行代数叠加，得到最终结果。
重要提醒: 分析过程中，受控源 (Dependent Sources) 始终保留，不能置零。

graph TD
    A["原电路<br>(V_s1, I_s2 共同作用)"] --> B{应用叠加定理}
    B --> C["子电路1<br>(V_s1单独作用, I_s2开路)"]
    B --> D["子电路2<br>(I_s2单独作用, V_s1短路)"]
    
    subgraph 叠加
        direction LR
        C_Response[响应1]
        D_Response[响应2]
    end
    
    C --> C_Response
    D --> D_Response
    C_Response -- "+" --> E[总响应]
    D_Response -- "+" --> E

2.3 戴维南定理 (Thévenin's Theorem)

定理内容: 任何一个线性含源一端口网络，对其外部电路来说，都可以等效为一个理想电压源 ( $V_{th}$ ) 和一个电阻 ( $R_{th}$ ) 的串联。
等效参数求解:
1. 戴维南等效电压 ( $V_{th}$ ):
  - 等于一端口网络在端口处的开路电压 ( $V_{oc}$ )。
2. 戴维南等效电阻 ( $R_{th}$ ):
  - 方法一 (无受控源时): 将网络内部所有独立源置零（电压源短路，电流源开路），然后从端口看进去的等效电阻。
  - 方法二 (通用方法，尤其适用于含受控源):
    - 将内部独立源置零。
    - 在端口处施加一个测试电压源 $v_t$ ，计算产生的测试电流 $i_t$ ，则 $R_{th} = \frac{v_t}{i_t}$ 。
    - 或施加一个测试电流源 $i_t$ ，计算产生的测试电压 $v_t$ ，则 $R_{th} = \frac{v_t}{i_t}$ 。
  - 方法三 (开路短路法): $R_{th} = \frac{V_{oc}}{I_{sc}}$ ，其中 $I_{sc}$ 是端口处的短路电流。

graph LR
    subgraph 原始网络
        A(含源线性网络) -- 0 --> B(a)
        A -- 1 --> C(b)
    end
    
    D{等效}
    
    subgraph 戴维南等效电路
        direction LR
        F(V_th) --> E(R_th); 
        
        E --> H(b); 
        F --> G(a); 
        
        F -- 串联 --> E
    end
    
    B --> D -- 等效于 --> G
    C --> D -- 等效于 --> H

诺顿定理 (Norton's Theorem):

戴维南定理的对偶形式。任何一个线性含源一端口网络，可以等效为一个理想电流源 ( $I_N$ ) 和一个电阻 ( $R_N$ ) 的并联。
关系: $I_N = I_{sc}$ , $R_N = R_{th}$ , $V_{th} = I_N \cdot R_N$ 。